Reaalilukujen

Reaaliluvut (lyhenne R) ovat lukujoukko, joka muodostaa täydellisen järjestetyn kentän ja sisältää sekä rationaaliluvut että irrationaaliluvut. Ne ovat laajennus rationaaliluvuista ja muodostavat keskeisen luvunvallin matematiikassa. Reaaliluvut voidaan rakentaa useilla tavoilla: Dedekindin leikkausten, Cauchy-sekvenssien raja-arvojen tai desimaali- ja sarjaperusteiden avulla. Täydellisyys tarkoittaa, että jokainen Cauchy-sekvenssi realiluvuista konvergoituu reaalilukuun.

R on kenttä, johon sisältyy yhteen-, vähennys-, kertominen ja jakaminen (jakaminen nollalla on kielletty). Reaaliluvut ovat järjestetyt: jokaiselle kahdelle luvulle a ja b pätee joko a<b, a=b tai a>b. Metrinen etäisyys d(x,y)=|x−y| määrittelee tavallisen tilan, jolloin käsitteet jatkuvuus ja konvergenssi ovat luonnollisesti määriteltyjä. Tiheys tarkoittaa, että rationaaliluvut ovat tiheitä R:ssa.

R:n kardinaliteetti on continuum; se on suurempi kuin ℚ:n. Jokainen realiluku on joko algebrainen (ratkaisee polynomin, jonka kertoimet ovat rationaalisia) tai transcendentaalinen. Esimerkkejä irrationaaliluvuista ovat sqrt(2) ja π, jotka molemmat ovat realilukuja. Useat luvut, kuten π ja e, ovat keskeisiä analyysissä ja mittauksissa.

Reaaliluvut ovat keskeisiä mittaamisessa, laskennassa ja analyysissä: niillä määritellään raja-arvot, integraatio ja derivointi sekä jatkuvuuden käsite. Ne muodostavat perustan tavanomaiselle matematiikalle ja useille luonnontieteellisille sovelluksille.