complejación

Complejación es un término que, según el campo, puede referirse a procesos de aumento de la complejidad en sistemas o, en matemáticas, a una construcción específica. En matemáticas, la complejación de un espacio vectorial real se utiliza para estudiar estructuras reales con herramientas del campo complejo.

Definición y construcción: dada un espacio vectorial real V, su complejación se denota V^C y se define como V^C = V ⊗_R C. A nivel conceptual, V^C puede verse como V ⊕ iV, con elementos escritos como u + i v, donde u, v ∈ V. La inclusión real V → V^C es v ↦ v ⊗ 1, y las operaciones en V^C se extienden de forma natural para convertirlo en un espacio vectorial complejo. Si T: V → W es una aplicación lineal real, su complejación T^C: V^C → W^C se define por T^C(v ⊗ z) = T(v) ⊗ z.

Propiedades y ejemplos: dim_C(V^C) = dim_R(V). La complejación respeta estructuras lineales: si T es real-lineal, su extensión T^C es un homomorfismo complejo correspondiente. Un ejemplo básico es la complejación de R, que es isomorfa a C. En álgebra y geometría, la complejación se usa para estudiar estructuras reales mediante técnicas complejas y para facilitar la representación de objetos reales en contextos complejos.

Aplicaciones y usos: en teoría de representaciones, la complejación permite convertir representaciones reales en complejas. En análisis y geometría, facilita el uso de métodos complejos para estudiar objetos reales. En otras disciplinas, el término también puede referirse al proceso general de hacer que un sistema sea más complejo, aunque esta acepción es menos formal y depende del contexto disciplinar.