birationaalisessa

Birationaalisuus on käsite algebraisessa geometriassa, jolla kuvataan kahden algebraisen moniyhteyden tai -tilan välistä suhdetta. Kaksi tilaa X ja Y over field k ovat birationaalisia, jos niiden välillä on määrällinen yhteys, jonka asteikka kuvaa sattumanvaraisen morphismien kääntyvyyden: voidaan löytää ei-tyhjiä avoimia osia U ⊆ X ja V ⊆ Y sekä rationaalinen kartoitus f: X ⇢ Y, jonka rajoitus U → V on isomorfismi, ja jolla on kääntäjä g: V ⇢ U, jonka rajoitus on f:n käänteismappi. Toisin sanoen, X ja Y ovat birationaalisesti samanlaisia suurimmilla puolilaatikoilla: niiden funktioviivat (k(X) ja k(Y)) ovat isomorfisia k-alkukenttiä.

Birationaleissa mapsitet ovat pääosin rationalisointi; ne johtavat suoraan siitä, että k(X) ≅ k(Y) k-ylien kautta. Birationaleisuus on siis sovittavaa: se on sama kokoelman tasoinen ominaisuus kuin funktiotilan isomorfia. Tämä tekee birationaleisuudesta tärkeän välineen tilojen luokittelussa, etenkin pinnallisen geometrien (surface) ja korkeampien dimensioiden tutkimuksessa.

Esimerkkejä: P^n (n-up) on birationalisti itsensä kanssa; alusta P^1 × P^1 on birationaalinen P^2:n kanssa, ja tämän luokan tilat voivat olla rationalisoitavissa. Toisaalta kaikki tilat eivät ole birationaalisesti tantum: esimerkkinä tunnettu tulos on, että tietty kolmineliötilan (esim. sileä kolmiulotteinen kolmiö) ei ole rationalisti, mikä osoittaa birationaleisuuden rajoja. Hyvin usein resoluutioiden ja ruiskujen (blow-up) kautta voidaan osoittaa, että useimmat rationaaliset pinnat ovat birationaalisen luokan sisällä.

Birationaleisuuden tärkeimpiä ominaisuuksia ovat, että se ei välttämättä säilytä kaikkia yksityiskohtia, mutta säilyttää mielenkiintoisia rakenteellisia tietoja kuten dimensiota ja ratkaisuja funktion kenttien kautta. Birationaleisuus on keskeinen käsite birationaleessa geometriassa ja Cremona-ryhmässä sekä monien tilojen luokittelussa.