Birationaleisuuden

Birationaalisuus on käsite algebraistisessa geometriassa, joka kuvaa kahden algebraisen varietin välistä yhteyttä. Kaksi projectiivista lajiketta X ja Y over kenttä k ovat birationalisesti samankaltaisia, jos niille löytyy tiheästi avoin osajoukko U ⊂ X ja V ⊂ Y sekä isomorfia f: U → V. Samalla voidaan sanoa, että X ja Y ovat birationaalisesti yhtä suuria tai niiden funktiokentät k(X) ja k(Y) ovat isomorfit kuin k-kielillä varustetut lausekkeet. Tämä tarkoittaa, että ne ovat samoja “ funktionaalisesti” ainakin suurilla osajoukoilla.

Birational mapit ovat rationaalisia karttoja, joiden käänteinen kartta on myös rationaalinen ja joka on määritelty tiheästi avoimilla joukkoilla. Birationaliteetti voidaan siten tulkita isomorfiasuhteena tiheillä avopaikoilla.

Rajoittuneet seuraukset ja esimerkit: birationaalisuus on invarianssi, joka liittyy funktiokenttien lisäksi ulkonäköön. Esimerkiksi käyrien tapauksessa kahden käyrän birationaalisuus tarkoittaa samaa kuin samoja generaattoreita, ja jokainen ei-kasvava kokonaiskäyrä on birationaalisesti lineaarisestiyhteen sovitettavissa P^1:n kanssa. Kuuromuotoisessa tapauksessa konveksit voivat olla birationaalisia, mutta ne eivät aina ole räätälöitäviä projektioiksi; tämä osoittaa, että birationaalisuus on vahvempi käsite kuin pelkkä topologinen samankaltaisuus.

Rationaalisuus ja luokittelu: Lajit, jotka ovat birationaalisesti projektive spaceen P^n, kutsutaan rationaalisiksi. Monien lajikkeiden tapauksessa rationaalisuus on ei-triviaali kysymys, ja sitä tutkitaan esimerkiksi minimal model -ohjelman sekä monien invarianttien avulla (kuten plurigenera, Kodaira-dimension).

Historiallisesti termi juontaa 1800-luvun italian geometrien kartoista; birationaalisuus on keskeinen käsite nykyaikaisessa algebraalisessa geometriassa ja lajikkeiden luokittelussa.