kääntyvyyden

Kääntyvyys, tai invertibiliteetti, on ominaisuus, jossa olio tai rakenne sallii käännetyn toiminnon tai käänteisen operaation. Tämän seurauksena alkuperäinen rakenne voidaan palauttaa toisen toiminnon kautta. Kääntyvyys voidaan tarkastella eri tasoilla, kuten funktion, matriisin tai yleisen algebraisen rakenteen kontekstissa.

Funktion kääntyvyys tarkoittaa, että on olemassa toisen funktion g, jonka kompositio f∘g ja g∘f palauttavat argumenttinsa: g(f(x)) = x kaikilla x ∈ X sekä f(g(y)) = y kaikilla y ∈ Y. Tällöin f on bijektio ja sen käänteinen f^{-1}: Y→X on määritelty. Jos f ei ole kääntyvä, sitä ei voi palauttaa yksiselitteisesti.

Matriisien kääntyvyys: neliömatriisi A on kääntyvä, jos det(A) ≠ 0. Tällöin on olemassa A^{-1}, jolla AA^{-1} = A^{-1}A = I. Käänteyttä voidaan löytää esimerkiksi Gaussin eliminoinnin, adjungoidun matriisin ja determinanttien avulla tai LU‑dekompositionin kautta. Kääntyvyys takaa, että lineaarinen järjestelmä Ax=b ratkaistaan yksiselitteisesti.

Laajemmassa mielessä kääntyvyys liittyy yksiköihin ja käänteisyyteen: ryhmäteoriassa elementillä on käänteinen, ja renkaankäytössä käänteisiä kutsutaan yksiköiksi. Yleensä ei jokainen ei-nollakaan ole kääntyvää: esimerkiksi kokonaislukujen käänteisiä ei yleisesti ole, vaan ainoastaan kertautuvia yksiköitä.

Lopuksi on huomioitava, että käytännön laskennassa inversioiden laskeminen ei aina ole suositeltavaa; useammin ratkaistaan Ax=b tai käytetään iteratiivisia menetelmiä, erityisesti suurissa järjestelmissä, koska kääntyvyys voi olla epävakaa tai kallis laskennallisesti.