binomiaalilauseen

Binomiaalilause on kaava, jolla kahden luvun summa korotettuna kokonaislukuiseen potenssiin voidaan avata yksittäisten termien sarjaksi. Olkoot x ja y luvut ja n ei-negatiivinen kokonaisluku. Tällöin

(x + y)^n = ∑_{k=0}^n binom(n, k) x^{n−k} y^k,

missä binom(n, k) on yhdistelmien määrä n valitsemien k mukaan, eli binom(n, k) = n!/(k!(n−k)!). Koska n on kokonaisluku, sarja päättyy kertomakohtaan k = n.

Binomiaalilauseen binom(k) kertoimet muodostavat Pascalin kolmion, ja kunkin rivin luvut ovat luvut, jotka kuvaavat erilaisten valintojen määrää n tekijästä. Tämä antaa myös combinatorisen tulkinnan: binom(n, k) määrää, kuinka monella tavalla valitaan k tekijää tietyssä n-termisessä hajotelmassa.

Laajennukset ja yleistäminen: jos exponentti on α (ei pakosti kokonaisluku), voidaan määritellä binom(α, k) = α(α−1)…(α−k+1)/k!, ja

(1 + x)^α = ∑_{k=0}^∞ binom(α, k) x^k,

jolla on konvergenssi|x|<1. Kun α on kokonaisluku n ≥ 0, sarja supistuu ja saa samaan lopullisen muodon kuin perinteinen binomiaalilause.

Binomiaalilauseella on sovelluksia matematiikassa ja tilastotieteessä: polynomien kehittely, todennäköisyyslaskenta, sarjojen laajentaminen sekä algebra, jossa se tukee monia identiteettejä ja laskutoimituksia.