Binomiaalilause

Binomiaalilause on matemaatiline lause, mis kirjeldab kahe arvu summa tõstmist naturaalarvu n-kordseks. Kehtib siis, kui n on mitte-negatiivne täisarv ning a ja b on reaal- või keerulised arvud. Lause annab polünoomi (a + b)^n otsese laienemise kujul: (a + b)^n = sum_{k=0}^n C(n, k) a^{n-k} b^k, kus C(n, k) on binomiaalkoefitsient.

Binomiaalkoefitsient C(n, k) on määratletud kui n! / (k! (n-k)!). Koefitsiendid kujundavad täisnumbrilise paardina Pascal'i kolmnurga kujundi ning neil on sümmeetriline omadus C(n, k) = C(n, n-k). Koefitsiendid kirjeldavad ka kombinatoorilist olukorda: C(n, k) on valikuviiside arv, kuidas valida k elementi n-st. Seetõttu tähistab binomiaalilause lause, mis ühendab polünoomialgoritmid ja kompleksetsed valikud.

Lause tõestus leitakse tavaliselt induktsiooniga või combinatoorilise mõtteviisiga: aluseks on (a + b)^0 = 1 ja samm näitab, et kui lause kehtib for n, kehtib see ka n+1 puhul. Binomiaalilause on aluseks paljudele algebrilistele ja tõenäosuslikke küsimustele — näiteks kui a = b = 1, annab see (1 + 1)^n = 2^n. See laieneb ka geomeetriliste ja probabilistlike ülesannete lahendustele ning on põhielement Pascal'i kolmnurgas ja polünoomide coefitsientide arvutamisel.

Kõige üldisem versioon piiritleb lõpmatu sarja vormi: (1 + x)^α = sum_{k=0}^∞ binom(α, k) x^k ( |x| < 1 ja α võib olla mis tahes reaalarv), kus binom(α, k) = α(α−1)...(α−k+1)/k!. See generaliseerimine laiendab binomiaalset ideed mitteametlike astmeteni.