basisissä

Basisissä tarkoitetaan tilan V koordinaattien ilmaisua tietyn basisin B suhteen. Lineaarialgebrassa vektoritila V on vektoreiden joukko, jota varten määritellään kenttä F. Basis B = {b1, ..., bn} on joukko vektoreita V:stä, jotka ovat lineaarisesti riippumattomia ja joiden lineaarinen yhdistelmä kattaa V. Jokainen v ∈ V voidaan kirjoittaa yksikäsitteisesti muodossa v = α1 b1 + ... + αn bn, missä αi ∈ F. Koordinaatit [v]_B = (α1, ..., αn)^T määrittävät v:n kyseisessä basisissä.

Kun puhutaan basisistä, viitataan siihen, miten v esitetään tämän basisin B suhteen. Basisin valinta vaikuttaa koordinaattien ilmaisemiseen ja helpottaa erilaisten lineaaristen operaatioiden ja muunnosten esittämistä tilassa V. Yleisesti ottaen basisin pituus on tilan dimensi, ja jokainen v:stä voidaan löytää yksikäsitteisesti kyseisen basisin avulla.

Vaikka koordinaatit riippuvat valitusta basisistä, itse v on sama kohinan ulkopuolella: v on sama vektori riippumatta siitä, miten se esitetään basisissä. Jos basisit B ja C ovat, muunnosbasisien välillä voidaan kuvata matriisilla P, jonka sarakkeet ovat [b1]_C, ..., [bn]_C. Silloin [v]_C = P [v]_B.

Esimerkki: Vektori v = (2,0) R^2:ssa voidaan esittää basisissä B = { (1,1), (1,-1) } seuraavasti: v = 1·(1,1) + 1·(1,-1), joten [v]_B = (1, 1). Tämä osoittaa, miten sama vektori saa erilaiset koordinaatit eri basisien mukaan.