bakåtekvationer

Bakåtekvationer är en samling differentialekvationer och relaterade problem där lösningen bestäms av villkor vid en senare tidpunkt snarare än vid t=0. Begreppet används främst inom deterministiska och stokastiska system där man tittar på hur ett tillstånd vid ett terminalt tidpunkt T påverkar värdena för tidigare tider. Denna bakåtriktade synvinkel står i kontrast till de vanligaste initialvärdes- eller randvillkoren där tiden löper framlåt.

Inom deterministiska problem uppträder bakåtekvationer ofta som differentialekvationer med terminalvillkor. Ett enkelt exempel är du/dt = a u med terminalvillkoret u(T) = u_T. Lösningen blir u(t) = u_T exp(a (t−T)), vilket visar hur värdet vid tidigare tider bestäms av slutvärdet. I mer komplexa sammanhang kan bakåtekvationer handla om partiella differentialekvationer med sluttidsvillkor eller om boundary-value-problem där hela tidsintervallet hanteras baklänges.

Inom stokastik förekommer bakåtekvationer i form av bakåtsasserta problem och bakåtda SDE:er (BSDEs), där en terminalt payoff bestämmer hela utvecklingen fram till nu. Dessa problem används bland annat i finansiell matematik för prissättning av optioner och riskhantering, samt i kontrollteori där adjoint- eller bakåtkvoter används i optimal kontroll.

Metoder för att analysera bakåtekvationer inkluderar tidsomvandlingar som s = T − t för att återföra problemet till ett framåtriktat problem, samt numeriska metoder som bakåtintegration, shooting-metoder och regressionbaserade Monte Carlo-tekniker.

Sammanfattningsvis beskriver bakåtekvationer problem där framtida villkor styr tidigare tidssteg, och de har bred användning inom matematik, finans och teknik där tidsriktningen i lösningen är central.