arvupartitsioonid

Arvupartitsioonid on matemaatiline mõiste, mis kirjeldab, kuidas täisarv n saab väljendada summana positiivsetest täisarvudest, kus osade järjekord ei ole oluline. Näiteks n = 4 saab esitada viis erinevat viisi: 4; 3 + 1; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1. Selliste esitajate arvuks on p(n), ehk arvupartitsioonide arv. Seetõttu p(4) = 5.

Genereerimise funktsioon kirjeldab kõigi p(n) väärtuste tidsust: ∑_{n≥0} p(n) x^n = ∏_{k≥1} 1/(1 − x^k). See puudutab arvu- ja kombinaatorikoodide ühendusi ning on keskne tööriist arvupartitsioonide analüüsimisel.

Recursioon ja ühtlus: arvupartitsioonide arv saadakse üldistatud pentagonaalarvude teoreemi abil. P(n) rahuldab p(0) = 1 ja p(n) = ∑_{k≠0} (-1)^{k-1} p(n − g_k), kus g_k = k(3k−1)/2 (ja allpool kehtivad p(m) = 0 kui m < 0). See annab efektiivse arvutusviisi suurte n väärtuste jaoks.

Ferrers- või Youngi diagrammid annavad visuaalse viisi arvupartitsioonide kujutamiseks: täisarvu suurus määratakse nooltega ridade või veergude kujul ning konjugaatpartition tähistab diagrammi peegeldust.

Euleri teoreem: Arvupartitsioonide arv, kus kõik osad on erinevad, on võrdne arvuga, kus osad on ainult paaritud arvud. See seos ühendab kaks erinevat mustrit ühte külge.

Kasutused ja ajalooline taust: arvupartitsioonid mängivad rolli number theory ja q-series uurimises ning neil on klassikaline ajaloost pärit seos Leonhard Euleri ning Hardy–Ramanujani töödega. Üldine kasv ja täpsemad asümptootikad annavad sügavama arusaama arvudest ja kombinatoorikast.