ZetaFunktionen

Zetafunktionen sind eine Klasse komplexer Funktionen, die als Dirichletserien definiert werden. Die bekannteste ist die Riemannsche Zeta-Funktion zeta(s) = sum_{n=1}^\infty n^{-s} für komplexe Zahlen s mit Realteil größer als 1. Sie besitzt eine Eulerprodukt-Darstellung zeta(s) = prod_p (1 - p^{-s})^{-1}, wobei p über alle Primzahlen läuft. Durch analytische Fortsetzung lässt sie sich auf ganzes komplexes Gebiet erweitern, ausgenommen s = 1, wo sie eine einfache Polstelle hat. Die Funktion erfüllt eine funktionale Gleichung, die eine Symmetrie zwischen s und 1-s herstellt.

Zetafunktionen umfassen auch Verallgemeinerungen wie die Hurwitz-Zeta-Funktion zeta(s,a) = sum_{n=0}^\infty (n+a)^{-s}, definiert für Re(s) > 1 und fortgesetzt analytisch. Dirichlet-L-Funktionen L(s, chi) verwenden Dirichlet-Charaktere und haben ähnliche Eigenschaften, darunter Eulerprodukte und analytische Fortsetzung. Die Dedekind-Zeta-Funktion einer Zahlkörper K ist zeta_K(s) = sum_I N(I)^{-s} oder als Produkt über Primideale definiert und dient zur Beschreibung der Algebra und der arithmetischen Struktur von K.

Zetafunktionen finden Anwendungen in der Zahlentheorie, insbesondere bei der Untersuchung von Primzahlen, Verteilungen von Diskontinuitäten und der Bestimmung von Spannweiten von arithmetischen Objekten. In der Physik treten sie in der Zeta-Funktionen-Regularisierung auf, etwa zur Behandlung divergierender Summen in Quantenfeldern, sowie in der Statistik und in der Theorie modularer Formen.

Wichtige Werte sind zeta(0) = -1/2, zeta(-1) = -1/12, zeta(2) = pi^2/6, und allgemein zeta(1-n) = -B_n / n für n ≥ 1. Die Nullstellen liegen im kritischen Streifen 0 < Re(s) < 1; die Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen die reelle Achse Re(s) = 1/2 besitzen.