Winkelvariablen

Winkelvariablen sind Koordinaten in den Phasenräumen klassischer mechanischer Systeme, die insbesondere in der Theorie der Integrablesysteme eine zentrale Rolle spielen. In einem solchen System lassen sich die Phasenraumkoordinaten so transformieren, dass die Hamilton-Funktion nur von den Aktionsvariablen I_i abhängt: H = H(I1, ..., In). Die konjugierten Variablen θ_i heißen Winkelvariablen. Sie sind zyklisch und periodisch mit dem Intervall 0 ≤ θ_i < 2π; zusammen bilden sie einen n-dimensionalen Torus T^n, auf dem sich das System bewegt.

Die Gleichungen der Bewegung vereinfachen sich zu dθ_i/dt = ∂H/∂I_i = ω_i(I), dI_i/dt = -∂H/∂θ_i = 0. Damit sind I_i konstant und θ_i entwickeln sich gleichförmig mit Frequenzen ω_i. Das macht Winkelvariablen besonders nützlich bei der Analyse von Integrabilität, Resonanzen und in der Quantisierung über die Bohr-Sommerfeld-Regel.

Beispiele: Der harmonische Oszillator lässt sich durch eine Transformation in Winkel- und Aktionsvariablen ausdrücken: x = sqrt(2I/(mω)) sin θ, p = sqrt(2mωI) cos θ. In der Himmelsmechanik und Molekulardynamik werden Winkelvariablen genutzt, um langsame und schnelle Bewegungen zu trennen.

Beachte: Winkelvariablen sind oft nicht global eindeutig definierbar; topologische Obstruktionen wie Monodromie können auftreten. Trotzdem bleiben sie ein wichtiges Werkzeug in der Theorie der Integrabilität, in der KAM-Theorie und in der Quantenmechanik, wo I_i als Quantenzahlen interpretiert werden können.