Wellengeschwindigkeiten

Wellengeschwindigkeiten beschreiben die Geschwindigkeiten, mit denen sich Wellen in einem Medium ausbreiten. In der Wellenlehre werden dabei oft zwei Begriffe verwendet: die Phasen-Geschwindigkeit und die Gruppen-Geschwindigkeit.

Die Phasen-Geschwindigkeit vp ist definiert als vp = ω/k, wobei ω die Winkelfrequenz der Welle und k die Wellenzahl ist. In dispersiven Medien hängt vp von der Frequenz ab; in nicht-dispersiven Medien ist vp konstant und entspricht der tatsächlichen Fortbewegungsgeschwindigkeit der Phasenfront.

Die Gruppen-Geschwindigkeit vg beschreibt die Geschwindigkeit der zeitlichen Hüllkurve eines Wellenpakets und wird durch vg = dω/dk gegeben. Sie ist häufig die Geschwindigkeit, mit der Energie und Information übertragen werden. In Nicht-Dispersionsgebieten stimmen vp und vg überein; in dispersiven Medien können sie verschieden sein.

Beispiele aus der Praxis: Bei Wasseroberflächen hängt die Beziehung von vp und vg von der Wassertiefe ab. Tiefes Wasser: ω^2 = gk führt zu vp = sqrt(g/k) und vg = 1/2 vp. Flaches Wasser ist weniger dispersiv, vp ≈ vg ≈ sqrt(gh). In der Optik gilt vp = c/n(ω) und vg = dω/dk, was sich bei materieller Dispersion durch den Faktor n und dessen Frequenzabhängigkeit ausdrückt.

Wichtige Folgerung: Die Gruppen-Geschwindigkeit bestimmt oft die Ausbreitung von Energiepaketen, während Phasenfronten durch die Phasen-Geschwindigkeit beschrieben werden. Die Frontgeschwindigkeit setzt allgemein die maximale Signallaufzeit, die unabhängig von der Gruppe abhängen kann, wodurch Kausalität gewahrt bleibt.