Vänstersumman

Vänstersumman är en metod inom numerisk integration som används för att approximera integraler av en funktion f över intervallet [a, b]. Vid en likformig uppdelning i n delintervall med bredd Δx = (b − a)/n summeras f vid vänsterändpunkterna: x_i = a + iΔx för i = 0, 1, ..., n−1. Vänstersumman är därmed den Riemann-summa som använder vänster ändpunkt i varje delintervall och ger en approximerad integral som är Δx ∑_{i=0}^{n−1} f(x_i).

Om f är ökande på [a, b] underskattar vänstersumman integralens verkliga värde, medan den överskattar för en avtagande funktion. För kontinuerlig f med en begränsad derivata M gäller att felet E_L = Δx ∑_{i=0}^{n−1} f(x_i) − ∫_a^b f(x) dx fulfinner |E_L| ≤ M (b − a) Δx / 2, vilket ger |E_L| ≤ M (b − a)^2 /(2n) när Δx = (b − a)/n.

Jämfört med andra metoder är vänstersumman en enklare variant av Riemann-summor och kräver endast värden av f vid vänsterändpunkterna. Höger-summan använder högerändpunkterna, medan trapezoidregeln erhås som medelvärdet mellan vänster- och höger-summan och oftast ger bättre noggrannhet. Användningen av vänstersumman är vanlig i undervisning och i enkla beräkningar där funktionens vänstra kantvärden är särskilt tillförlitliga eller där enkel implementation prioriteras.