Vierkugel

Vierkugel ist in der Mathematik der gängige Begriff für die vierdimensionale Kugel B^4, das Set aller Punkte im vierdimensionalen euklidischen Raum R^4, deren euklidische Norm höchstens 1 ist. Sie wird oft als Einheitsball in vier Dimensionen bezeichnet und dient als grundlegendes Beispiel in Geometrie und Topologie. Der Rand der Vierkugel ist die 3-Sphäre S^3, die Menge der Punkte mit Norm gleich 1.

Das Volumen der Vierkugel beträgt V_4 = π^2/2, was ungefähr 4,9348 entspricht. Die Oberfläche des Randes, also die dreidimensionale Oberfläche der S^3, hat das Gesamtmaß 2π^2, ca. 19,7392. Allgemein gilt die Formel für den n-dimensionalen Ball B^n mit Radius R: V_n(R) = π^{n/2} R^n / Γ(n/2 + 1). Für n = 4 und R = 1 ergibt sich π^2/2.

Querschnitte: Durch eine Ebene w = t (t ∈ [-1, 1]) erhält man eine 3-dimensionale Kugel mit Radius sqrt(1 − t^2). Damit ergeben sich family of B^3-Kugeln unterschiedlicher Größe als Projektionen der Vierkugel in Unterräume.

Anwendungen: Vierkugeln dienen als grundlegendes Beispiel in der Geometrie und Analysis höherer Dimensionen, bei integralen Berechnungen, Maßtheorie und der Untersuchung topologischer Eigenschaften von vier- bzw. höherdimensionalen Räumen. Sie sind zudem ein wichtiges Referenzobjekt in Lehre und Forschung zur n-dimensionalen Geometrie.