Verzerrungsfunktion

Verzerrungsfunktion, auch Verzerrungsmaß genannt, ist eine mathematische Funktion, die einer Wiedergabe eines Quellsymbols x aus X durch ein Reproduktionssymbol ŷ aus Ŷ eine nichtnegative Kosten- oder Verzerrungsgröße zuordnet. Sie dient dazu, die Diskrepanz zwischen dem Original und seiner Wiedergabe zu quantifizieren und damit Kosten- oder Leistungsmaße in Bereichen wie Datenkompression, Signalübertragung und statistischer Schätzung zu definieren.

Formal ist die Verzerrungsfunktion d eine Abbildung d: X × Ŷ → [0, ∞). Typischerweise gilt d(x, x) = 0, sofern eine perfekte Wiedergabe möglich ist, und d(x, y) ≥ 0 für alle x, y. Im Unterschied zu einer Metrik muss Symmetrie nicht gelten und Dreiecksungleichungen sind nicht zwingend erfüllt. Die Verzerrung wird oft durch Erwartungswerte über die Verteilung des Quellsignals und der Rekonstruktion verwendet.

In der Rate-Distortion-Theorie spielt die Verzerrungsfunktion eine zentrale Rolle: Die durchschnittliche Verzerrung E[d(X, Ŷ)] dient als Restriktion, und die Rate-Distortion-Funktion R(D) gibt an, wie viele Bits pro Symbol minimal erforderlich sind, um eine durchschnittliche Verzerrung ≤ D zu erreichen.

Typische Verzerrungsfunktionen umfassen d(x, y) = (x − y)² ( quadrierter Fehler), d(x, y) = |x − y| (absoluter Fehler) und d(x, y) = 0,1 (Hamming-Distortion) für diskrete Alphabete. In der Praxis können auch gewichtete oder perceptual-spezifische Verzerrungen eingesetzt werden.

Verzerrungsfunktionen werden außerdem als Loss-Funktionen in Statistik und maschinellem Lernen verwendet, wobei der Erwartungswert der Verzerrung minimiert wird, um Parameter oder Schätzungen zu bestimmen.