Verbindungsfunktionen

Verbindungsfunktionen bezeichnet in der Statistik eine Funktion, die die mittlere Antwortvariable μ mit dem linearen Prädiktor η = Xβ verbindet. In generalisierten linearen Modellen gilt normalerweise g(μ) = η, wobei g die Verbindungsfunktion ist. Der Prädiktor fasst die systematische Komponente des Modells zusammen, während μ durch eine Verteilung aus der Exponentialfamilie bestimmt wird.

Zu den gängigsten Verbindungsfunktionen gehören: Die Logit-Verknüpfung g(μ) = log(μ/(1-μ)) eignet sich besonders für binäre Antworten; die Probit-Verknüpfung g(μ) = Φ^{-1}(μ) hat ähnliche Eigenschaften; die Identität g(μ) = μ entspricht dem klassischen linearen Modell mit normalverteiltem Fehler; die Log-Verknüpfung g(μ) = log(μ) wird häufig bei Zähldaten (Poisson-Verteilung) verwendet; die Komplementär-Log-Log-Verknüpfung g(μ) = log(-log(1-μ)) findet Einsatz bei bestimmten Regressionsformen.

Eigenschaften: Verbindungsfunktionen sollten monoton und invertierbar auf dem Wertebereich von μ sein; in vielen Fällen ist g der kanonische Link, der η direkt als kanonischen Parameter der Verteilung ausdrückt. Die Wahl der Verbindungsfunktion beeinflusst die Interpretation der Koeffizienten, die Modellanpassung und die Diagnostik.

Anwendungen: Sie spielen eine zentrale Rolle in Generalisierten Linearen Modellen (GLMs) wie Logit- und Poisson-Regression. Sie ermöglichen die Modellierung von binären, zähldaten oder proportionsbezogenen Antworten, indem sie die Verteilung der Antwort mit der linearen Prädiktorstruktur verbinden.

Andere Felder verwenden den Begriff ähnlich; in der Zahlentheorie, Graphentheorie oder Netzwerktheorie kann Verbindungsfunktion auch allgemein eine Funktion beschreiben, die Verknüpfungen oder Beziehungen zwischen Objekten misst.