Vektoroperationer

Vektoroperationer är grundläggande operationer som utförs på vektorer i ett vektorrum, ofta i R^n. En vektor representeras av en ordnad mängd tal, till exempel i två eller tre dimensioner.

De mest grundläggande operationerna är vektoraddition och skalär multiplikation. Vid addition adderas motsvarande komponenter: (a1,...,an)+(b1,...,bn)=(a1+b1,...,an+bn). Skalär multiplikation innebär att varje komponent multipliceras med en skalar c: c a = (c a1,..., c an). Dessa operationer följer bland annat kommutativitet, associativitet och identitet.

Skalärprodukten (dot product) av två vektorer a och b definieras som a·b = sum ai bi. Den bestämmer längden och vinkeln mellan vektorerna: a·b = ||a|| ||b|| cos θ. Normen ||a|| definieras som sqrt(a·a). Projektionen av en vektor a på en vektor b är proj_b(a) = ((a·b)/(b·b)) b, och vinkeln mellan a och b ges av cos θ = (a·b)/(||a|| ||b||).

Korsprodukten (cross product) definieras i rum med tre dimensioner. I R^3 är a × b en vektor som är vinkelrät mot både a och b; dess storlek är ||a × b|| = ||a|| ||b|| sin θ, och riktningen bestäms av högerhandregeln. Korsprodukten är inte ett generellt begrepp i högre dimensioner som en vektorprodukt utan används främst i tre dimensioner.

Yttre produkter och inre produkter utgör också viktiga vektoroperationer. En yttre produkt a ⊗ b ger en matris som bildar en rank-1 matris. Mer allmänt används inre produkt och norm i allmänna inreproduktiva rum.

Vektoroperationer möjliggör representation av linjära kombinationer, spän och basbildning. Allmänna principer som Gram–Schmidt används för att skapa ortonormala baser. Användningar finns inom datorgrafik, fysik, teknik och dataanalys.