Vektorokkal

Vektorokkal végzett számítások a matematika és a fizika egyik alapkövetelménye. A vektorok olyan mennyiségek, amelyek irányt és hosszúságot adnak meg, gyakran n dimenziós koordináta-sorozat formájában jelennek meg. A vektorokkal végzett műveletek lehetővé teszik geometriai és algebrai összefüggések leírását, és nélkülözhetetlenek a lineáris algebrában, geometriában, fizikában és számítástechnikában.

A legfontosabb műveletek közé tartozik az összeadás és a skalárszorosítás. Összeadáskor két vektor koordinátáinak megfelelő elemei kerülnek összegzésre: v + w. Skalárszorosításnál egy α skalárszorzata minden koordinátára vonatkozik, így αv kap egy hosszabb vagy rövidebb irányított mennyiséget. A dot product, vagyis a skaláris szorzat v · w, skalár értéket ad, és meghatározza a két vektor közötti szöget és a hosszúságok közti kapcsolatot. A normáltétel ||v|| = sqrt(v · v) adja meg a vektor hosszát. Proj_{u}(v) kifejezéssel a vektoros projíciót is kifejezhetjük: (v · u)/(u · u)·u.

Vektoriális szorzat, csak háromdimenziós térben értelmezett művelet, v × w egy olyan vektor, amely merőleges a v-re és a w-re, és hossza a két vektor által bezárt szög sin θ-ával arányos. A vektoriális szorzat a háromdimenziós geometriai kapcsolatok részletes leírását adja.

Absztrakt értelemben a vektorok egy vektortér elemei; a bázis alapján koordinátákká alakíthatók, és a belső szorzat által definiált normák segítik a mérték- és távolságértelmezéseket. Lineáris transzformációk ezekkel a vektorokkal és a hozzájuk tartozó mátrixokkal írhatók le.

Gyakorlati alkalmazások széles köre létezik, például fizikában erő- és mozgásanalízis, számítógépes grafika a geometriai transzformációkban, gépi tanulásban és adatelemzésben a vektoros reprezentációk elterjedtsége miatt.