Vektorikenttien

Vektorikenttä on matemaattinen rakenne, joka liittää jokaiselle pistelle avaruudessa vektorin. Yleinen asettelu on alijoukko U ⊆ R^n ja F: U → R^n, x ↦ F(x). Vektorikenttiä käytetään kuvaamaan esimerkiksi ilman nopeusvuorovaikutusta, nesteiden virtauksia, sähkö- ja magneettikenttiä sekä muita sijaintiin riippuvia suuntaviivoja. Jokaisessa pisteessä vektori antaa suunnan ja voimakkuuden kentän kyseisessä kohdassa.

Vektorikenttiä voidaan luokitella sen mukaan, miten ne käyttäytyvät ja miten niihin liittyviä operaatioita määritellään. Yleisiä ovat jatkuvat, dérivoituvat ja sileät (esim. C^k) kentät. Erityisen tärkeä luokka on konservatiivinen kenttä, jolla F = ∇φ eristetysti jossain potentiaalifunktiossa φ; tällöin kentän työ riippuu vain alku- ja loppupisteestä, eikä polun valinnasta. Toisaalta divergenseiltaan vapaaksi (divergence-free) kenttä määritellään ∇·F = 0 ja kuvastaa esimerkiksi tiheyden säilymistä joissakin fysikaalisissa systeemeissä.

Operaatioihin kuuluvat divergenssi ∇·F, joka mittaa kentän lähteiden ja suojien kokonaiskone- jaetun määrän, sekä kiertymä ∇×F, joka kuvaa kentän kiertymää tai pyörivää luonnetta (3D). Kaksiulotteisessa tapauksessa kiertymän käsite on harvemmin vektori, mutta käytännön kuvat usein hyödyntävät näitä ominaisuuksia. Vektorikenttiä voidaan kuvata integraaliviivojen (kenttäviivojen) tai komponenttifunktioiden avulla, ja ne liittyvät usein ratkaistaviin differentiaaliyhtälöihin dx/dt = F(x).

Sovelluksia on runsaasti: fysiikka (elektromagneetismi, fluiditekniikka), meteorologia, robotiikka ja tietokonegrafiikka. Laajemmassa mielessä vektorikenttä on tangenttivektorien sektio polusta, ja se esiintyy jatkuvana rakenteena myös pehmeissä yleisömpäristöissä, kuten monistoissa.