Vektorgrößen

Vektorgrößen sind gerichtete Größen, die neben ihrem Betrag auch eine Richtung besitzen. Typische Beispiele sind Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft oder der Ortsvektor. Im Gegensatz zu Skalaren, die nur durch eine Zahlenangabe charakterisiert sind, erfordern Vektorgrößen eine Orientierung im Raum.

Vektoren werden üblicherweise durch Koordinaten relativ zu einer Orthonormalbasis beschrieben. In drei Dimensionen schreibt man v = (v1, v2, v3); in zwei Dimensionen genügt (v1, v2). Der Nullvektor hat Betrag 0 und besitzt keine definierte Richtung.

Vektoroperationen umfassen Addition und Subtraktion: v + w, v − w. Eine Skalarmultiplikation bedeutet αv, wobei α eine Zahl ist. Der Betrag eines Vektors ist |v| = sqrt(v1^2 + v2^2 + v3^2). Ein Einheitsvektor ist u = v/|v| (v ≠ 0).

Das Skalarprodukt (Punktprodukt) zweier Vektoren ist v·w = v1w1 + v2w2 + v3w3. Es liefert cos θ = (v·w)/(|v||w|), wobei θ der Winkel zwischen den Vektoren ist. In drei Dimensionen existiert auch das Kreuzprodukt v × w, das einen Vektor ergibt, der senkrecht zu v und w steht und dessen Betrag |v × w| = |v||w| sin θ ist.

Vektorgrößen finden breite Anwendung in Physik, Technik und Informatik, etwa zur Beschreibung von Bewegungen, Kräften, Feldern und Koordinatentransformationen. In der linearen Algebra bilden Vektoren den Grundbaustein des Vektorraums; ihr Verhalten unter Addition, Skalarmultiplikation und Basiswechsel ist zentral für viele Berechnungen.