Vektorelemente

Vektorelemente bezeichnen die Koordinaten eines Vektors relativ zu einer gewählten Basis in einem Vektorraum. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über dem Feld R (oder C) und B = {b1, ..., bn} eine Basis. Jedes Vektor v ∈ V lässt sich eindeutig schreiben als v = ∑_{i=1}^n v_i b_i, wobei die skalaren Koeffizienten v_i die Vektorelemente oder Koordinaten von v bezüglich B sind. In der üblichen Darstellung in R^n ist die n-Tupel v = (v1, ..., vn)^T die Darstellung der Vektorelemente. Die Anzahl der Vektorelemente entspricht der Dimension des Raums.

Die Vektorelemente hängen von der gewählten Basis ab: Ändert man die Basis, ändern sich die Koordinaten gemäß der Transformationsregel v' = P^{-1} v, wobei P die Basiswechselmatrix ist. Durch die Vektorelemente lassen sich Vektoren komponentenweise addieren und skalarmultiplizieren: (v1, ..., vn) + (w1, ..., wn) = (v1 + w1, ..., vn + wn). Lineartransformationen L: V → V wirken sich auf die Vektorelemente durch die Matrixdarstellung aus, v ↦ Av, wobei A die Darstellung von L in der gewählten Basis ist.

Vektorelemente ermöglichen eine einfache Rechenpraxis, liefern jedoch keine intrinsische Information ohne Bezug zu einer Basis. In der Physik entsprechen sie oft Projektionen entlang Achsen; in der Geometrie sind sie Koordinaten eines Punktes bzw. Vektors. Zusammengefasst: Vektorelemente sind die komponentenweise Darstellung eines Vektors in einer gewählten Basis und dienen der berechnung, ändern sich aber bei Basiswechsel.