Varianssit

Varianssit ovat tilastotieteen ja todennäköisyyslaskennan keskeisiä mittareita, jotka kuvaavat muuttujan arvojen hajontaa suhteessa keskiarvoon. Ne mittaavat, kuinka paljon yksittäiset havainnot poikkeavat toisistaan ja keskiarvosta.

Populaatiovarianssi, merkittävä kuvaaja, määritellään sigma^2 = E[(X − μ)^2], jossa μ on satunnaisuutta kuvaavan muuttujan odotusarvo ja E on odotusarvon käsite. Varianssi on neliöyksiköissä, minkä vuoksi se eroaa esimerkiksi hajontalukusta. Otosvarianssi s^2 kuvaa samaa hajontaa otoksessa: s^2 = (1/(n−1)) ∑ (xi − x̄)^2, jossa x̄ on otoksen keskiarvo ja n otoskoko. Otosvarianssi on varianssin epävarmuuden estimointi populaatiosta, ja sen neliöjuuri s antaa otosvarianssin standardipoikkeaman.

Tulkinta ja ominaisuudet: Varianssi kasvaa, kun arvot hajautuvat kauemmas keskiarvosta. Var(aX + b) = a^2 Var(X), ja Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y); riippuvuudesta riippuen Cov(X,Y) voi vaikuttaa tulokseen. Mikäli X ja Y ovat riippumattomia, termi vähenee, ja varianssit voivat summata.

Käytännössä variansseja käytetään esimerkiksi analyysissä varianssissa (ANOVA), jossa pyritään erottamaan ryhmien välinen ja ryhmien sisäinen hajonta. Tämä mahdollistaa tilastollisen testaamisen, kuten F-tarkistuksen avulla. Varianssi on myös keskeinen käsite rahoituksessa, mittausvirheissä ja laadunvalvonnassa, joissa se kertoo epävarmuudesta ja hajonnasta.

Lyhyesti: varianssit mittaavat dispersion, niistä johdetaan hajontalukuja ja ne muodostavat perustan monille tilastollisille menetelmille ja sovelluksille.