Otosvarianssi

Otosvarianssi, merkitty usein s^2, on otoksen varianssi ja käytetään populaation varianssin σ^2:n estimoinnissa. Se lasketaan keräämällä otos, jonka koko on n, ja määrittämällä otoksen keskiarvo x̄. Otoksen varianssi s^2 lasketaan kaavalla

s^2 = (1/(n-1)) Σ (xi - x̄)^2,

missä xi ovat otoksen havaintoja ja x̄ on otoksen keskiarvo. Besselin korjaus (jaettuna n-1) tekee s^2:sta epävarmuuden osalta oikeanlaisen estimoinnin, eli E[s^2] = σ^2.

Otosvarianssi on satunnaismuuttuja, joka vaihtelee otoksesta toiseen. Se on aina ei-negatiivinen ja riippuu otoksen koosta sekä havainnoista. Siinä on sama yksikkö kuin havainnoilla, mutta neliöitynä suureena.

Jakauma ja tulkinta: Jos populaation varianssi on σ^2 ja otos on otos iid-havaintoja, (n-1)s^2/σ^2 noudattaa χ^2_{n-1}-jakaumaa normaalijakauman oletuksilla tietyissä tilanteissa. Tämä mahdollistaa luottamusvälien laskennan ja varianssitestit. Ilman normaalijakautumisen oletusta tämän χ^2-jakauman ominaisuudet voivat olla erilaiset, mutta odotusarvo säilyy E[s^2] = σ^2.

Esimerkki: otos {2, 4, 6, 8}. n=4, x̄=5, s^2=(1/3)((2-5)^2+(4-5)^2+(6-5)^2+(8-5)^2)=20/3 ≈ 6.67.

Käyttö: Otosvarianssia käytetään laajasti tilastollisissa estimoinneissa, luottamusvälien rakennuksessa sekä varianssitestauksessa, kun halutaan arvioida populaation varianssia tai sen vaikutusta muita tilastollisia päättelyjä.