Trilineäre

Trilineäre, im mathematischen Sprachgebrauch häufig als trilinear bezeichnet, bezeichnet zwei verwandte Konzepte: trilineare Koordinaten in der Geometrie und trilineare Formen in der Algebra. Trilineare Koordinaten beziehen sich auf ein Dreieck ABC. Jedes Punkt P in der Ebene hat Trilinearkoordinaten α:β:γ, wobei α,β,γ der Abständen von P zu den Seiten BC, CA bzw. AB proportional sind. Die Koordinaten sind nur bis zu einem gemeinsamen Faktor eindeutig, weshalb man oft das Verhältnis α:β:γ angibt. In Zusammenhang mit baryzentrischen Koordinaten gilt: Falls a=BC, b=CA, c=AB, dann sind die baryzentrischen Koordinaten eines Punktes P gegeben durch x:y:z = aα : bβ : cγ. Umgerechnet in kartesische Koordinaten erfordert dies ein Koordinatensystem, das durch die Eckpunkte des Dreiecks festgelegt ist. Trilineare Koordinaten bleiben durch Skalierung des Anteils unverändert.

Trilineare Formen sind multilineare Abbildungen f: V × V × V → F auf einem Vektorraum V über dem Feld F, die in jedem Argument linear sind. Sie verallgemeinern bilineare Formen und spielen in der Tensor- und Differentialgeometrie eine zentrale Rolle. Beispiele: der scalar triple product a · (b × c) in drei dimensionalem Raum ist eine trilineare, alternierende Form. Trilineare Formen können symmetrisch oder antisymmetrisch sein und bilden eine Grundlage der Tensorentheorie.

Der Begriff ergibt sich aus drei linear unabhängigen Argumenten; in der Geometrie finden sich Trilineare Koordinaten insbesondere bei der Untersuchung von Dreiecken, während in der linearen Algebra Trilinearformen zentrale Bausteine von Tensoren darstellen.