Treghetsmatrisen

Treghetsmatrisen, även kallad treghetstensor, är en 3x3-symmetrisk matris som beskriver hur massan är fördelad i ett stelt objekt i förhållande till ett valt referenssystem. Den används inom klassisk mekanik för att koppla samman vinkelhastighet och rotation med kroppens vridmoment.

Definition och beräkning: För en kontinuerlig massfördelning med täthet ρ(r) är komponenterna I_ij = ∫ (r^2 δ_ij − x_i x_j) dm, där δ_ij är Kronecker-delta och r^2 = x^2 + y^2 + z^2. För en diskret partikelmodell är I = Σ_k m_k (r_k^2 I_3 − r_k r_k^T). I_xx, I_yy, I_zz kallas huvudögonblicken av tröghet, medan I_xy, I_xz och I_yz beskriver korskopplingar i massfördelningen.

Egenskaper: Treghetsmatrisen är symmetrisk och kan diagonaliseras av en rotation till ett koordinatsystem där den är diagonal, I = diag(I1, I2, I3). Dessa värden kallas huvudögonblicken och motsvarande axlar kroppens huvudaxlar. Transformationen mellan referensramar följer I' = R I R^T.

Relation till rörelse: Kroppens vinkelrörelsemängd är L = I · ω, och för allmänna fall följer vridmomentet τ = dL/dt + ω × L. Satsen om parallella axlar (I_O = I_CM + M d^2) används när man flyttar från masscentrum till en annan punkt.

Användning: Treghetsmatrisen är grundläggande inom robotik, rymdfart, datorgrafik och mekanik där rotation och massfördelning är centrala.