Transportekvationen

Transportekvationen, eller advektionskvationen i sin enklaste form, är en partiell differentialekvation som beskriver hur en skalar storhet u (t.ex. koncentration, täthet eller temperatur) förflyttas av ett flöde med hastighetsfältet v. Den fångar bevarandet av mängden i systemet i avsaknad av källor och avlopp, samt hur flödet transporterar storheten genom rummet över tid.

I en endimensionell, enkel form med konstant hastighet c får man ofta ∂u/∂t + c ∂u/∂x = 0. Denna ekvation beskriver ren advektion: värdet av u följer med flödet längs linjer i x-t-rummet och förändras inte längs dessa karakteristikare, om inget källvill hör till. Mer allmänt gäller den konservativa formen ∂u/∂t + ∇·(v u) = 0, där u är den transporterade storheten och v är hastighetsfältet. Om v har en divergense lika med noll kan man skriva ∂u/∂t + v·∇u = 0. Om det finns källterm S så skrivs ekvationen som ∂u/∂t + ∇·(v u) = S eller ∂u/∂t + v·∇u = S, beroende på hur man vill formulera källan.

Lösningar får ofta tolkningen via metod av karakteristik. För S = 0 följer u längs kurvor dx/dt = v, du/dt = 0, vilket i fallet konstant v återger en konstant värde längs sträckor som rör sig med hastigheten.

Användningsområden inkluderar fluiddynamik, atmosfär och oceanografi, miljö- och vattenföroreningar samt trafikflöden (t.ex. LWR-modellen för fordonsdensitet). Numeriskt används uppåtriktade skillnadscheman och andra advektionsscheman för stabil och korrekt lösning av transportekvationer.

---