Transformée

Transformée est un terme générique en mathématiques et en analyse qui désigne une opération associant à une fonction f une autre fonction F, souvent dans un espace différent, afin de faciliter l’analyse, la représentation ou le traitement des données. La plupart des transformées sont linéaires et, lorsque des conditions d’existence et d’invertibilité sont réunies, il est possible de récupérer f à partir de F.

Parmi les transformées les plus utilisées figurent la transformée de Fourier, qui transforme une fonction temporelle en une fonction de fréquence: F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-i ω t} dt; l’inverse est f(t) = (1/2π) ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{i ω t} dω. La transformée de Laplace, F(s) = ∫_0^{∞} f(t) e^{-s t} dt, est utile pour l’analyse des systèmes linéaires et les équations différentielles; son inverse est obtenue sous certaines conditions de convergence. La transformée en z, adaptée au temps discret, est donnée par X(z) = Σ_{n=0}^{∞} x[n] z^{-n} et permet l’étude en domaine complexe; son inversion dépend du cadre et peut requérir des méthodes résiduelles ou des séries.

Les transformées présentent des propriétés fondamentales: linéarité, décalage temporel, modulation, et, particulièrement, la transformation de la convolution en multiplication: F{f * g} = F{f} · F{g}. Elles trouvent des applications en traitement du signal, résolution d’équations différentielles, analyse d’images, électronique et physique.

Des variantes existent, comme les transformées en ondelettes et les transformées discrètes utilisées en calcul numérique et en compression des données.