Todennäköisyysmassafunktio

Todennäköisyys on matemaattinen käsite, joka kuvaa, kuinka todennäköisesti jokin tapahtuma toteutuu satunnaisessa kokeessa. Todennäköisyys on arvo välillä 0 ja 1 ja määritellään tulosavaruuden tapahtumien perusteella. Kolmogorovin aksioomat määrittelevät todennäköisyyden perusominaisuudet: ei-negatiivisuus, koko tulosavaruus on 1, ja epäyhteensuuntautuvien tapahtumien todennäköisyyksien summa vastaa niiden unionin todennäköisyyttä.

Keskeisiä käsitteitä ovat tulosavaruus Ω, jossa kokeen kaikki mahdolliset tulokset sijaitsevat, sekä tapahtumat eli Ω:n osajoukot. Satunnaismuuttuja X muuntaa tulokset määrälliseksi arvioksi. Odotusarvo E[X] kuvaa pitkän aikavälin keskimääräistä arvoa, ja varianssi Var(X) mittaa hajontaa.

Perussäännöt: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B). P(A|B)=P(A∩B)/P(B) (P(B)>0). Bayesin kaava: P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B).

Diskreetit ja jatkuvat jakaumat: yleisimmät mallit kuvaavat erilaisten ilmiöiden todennäköisyyksiä. Esimerkkejä ovat binomiaalijakauma, normaalijakauma ja Poissonin jakauma. Odotusarvo ja hajonta kuvaavat jakauman keskiarvoa ja vaihtelua.

Sovelluksia ovat tilastotiede, riskien arviointi, talous, fysiikka ja muut luonnontieteet. Todennäköisyyksiä käytetään estimaatioon, hypoteesitestaukseen ja päätöksentekoon datan perusteella.

Historia: todennäköisyys kehittyi 1600-luvulla Pascalin ja Fermatin tutkimusten myötä, ja Bernoulli‑suvun panokset vaikuttivat. Modernin teorian aksioomiksi 1930-luvulla asetti Andrey Kolmogorov.