Tilamuuttujamallit

Tilamuuttujamallit (state-space-mallit) ovat dynaamisten järjestelmien kuvaamiseen käytettyjä matemaattisia malleja, joissa järjestelmän tila x(t) tai x_k kuvaa sisäistä tilaa, josta ulostulo y riippuu. Tilat voivat edustaa esimerkiksi nopeuksia, lämpötilaa tai muita sekä mitattavissa olevia että mittaamattomia muuttujia.

Mallin yleinen muoto koostuu kahdesta osasta: tilan dynaamian kuvaamisesta sekä mittausten suhteesta tilaan. Jatkuva-aikainen muoto: dx/dt = A x + B u; y = C x + D u. Diskreetti-aikainen muoto: x_{k+1} = A x_k + B u_k; y_k = C x_k + D u_k. A, B, C ja D ovat matriiseja, ja x, u sekä y ovat vektoreita. Malli voidaan lisäksi kertoa lineaariseksi (LTI) tai epälineaariseksi.

Tilamuuttujamallit voivat olla lineaarisia tai epälineaarisia. Lineaariset mallit ovat yleisimpiä, koska ne ovat helpommin analyyttisesti käsiteltävissä ja estimoitavissa. Epälineaarisissa malleissa sekä tilan dynamiikka että mittausyhteys voivat riippua tilasta monimutkaisesti.

Estimointi ja tunnistus: Parametrit voidaan oppia havainnoinnin perusteella, ja tilan estimaatio voidaan suorittaa mittauksista Kalman-suodattimella tai sen epälineaarisilla laajennuksilla. Kalman-suodatin on optimaalinen lineaarisessa mallissa, kun mittauskohina on normaalijakautunutta. Epälineaarisissa tapauksissa käytetään esimerkiksi EKF:ää, UKF:ää tai partikkelifilttereitä.

Sovellukset: tilamuuttujamallit ovat keskeisiä automaatiossa ja robotiikassa, signaalinkäsittelyssä, taloustieteessä sekä sää- ja biologisten järjestelmien mallinnuksessa. Ne muodostavat yhteyden dynamiikan tutkimuksen, tilastotieteen ja koneoppimisen välille.