Kalmansuodatin

Kalmansuodatin, joka tunnetaan myös Kalman-suodattimena, on tilasto- ja signaalinkäsittelyyn kehitetty algoritmi, jolla arvioidaan piilotettuja tiloja usean ajanhetken perusteella saatujen mittausten avulla. Se on erityisesti suunniteltu lineaaristen dynaamisten järjestelmien tilan estimointiin kohinan peittämässä ympäristössä.

Järjestelmän malli perustuu tilayhtälöihin. Jatkumoasema x_k = F x_{k-1} + B u_k + w_k kuvaa järjestelmän tilaa, jossa x_k on tilavektori, F on tilan siirtomatriksi, B on ohjausmatriisi, u_k on ohjaus vektor ja w_k on tilakohtaishäiriö. Mittaustulos z_k saadaan z_k = H x_k + v_k, missä H on mittausmalli ja v_k on mittauskohina. Oletuksena ovat nollakeskihajaiset w_k ja v_k, jotka seuraavat Gaussin jakaumaa ja joilla on kovarianssit Q ja R.

Kalman-suodatin toimii kahdessa vaiheessa: ennuste ja päivitys. Ennusteessa arvioidaan seuraavan tilan ja sen epävarmuuden erotus: x̂_{k|k-1} = F x̂_{k-1|k-1} + B u_k, P_{k|k-1} = F P_{k-1|k-1} F^T + Q. Päivityksessä lasketaan Kalmanin voima K_k = P_{k|k-1} H^T (H P_{k|k-1} H^T + R)^{-1}, jonka avulla päivitetään tila ja epävarmuus: x̂_{k|k} = x̂_{k|k-1} + K_k (z_k - H x̂_{k|k-1}); P_{k|k} = (I - K_k H) P_{k|k-1}.

Laajennuksia on kehitetty epälineaarisille järjestelmille, kuten Extended Kalman Filter (EKF) ja Unscented Kalman Filter (UKF). Kalman-suodatin soveltuu muun muassa navigointiin, robotiikkaan, signaalin käsittelyyn ja taloustieteellisiin sovelluksiin, missä tavoite on tuottaa tarkka tilan estimaatio kohinan alaisissa olosuhteissa.

Historia: Kalman esitteli algoritmin vuonna 1960 artikkelissa A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. Sen jälkeen se on tullut laajasti käytetyksi sekä teoreettisessa että soveltavassa tutkimuksessa.