Tidssteppning

Tidssteppning, eller tidstegning, är processen att beräkna tidsutvecklingen av en lösning i numeriska simuleringar där kinematiska eller fysiska system beskrivs av differentialekvationer. I praktiken delas kontinuerlig tid upp i små steg Δt, och lösningen uppskattas vid tidpunkter t0, t1, t2, etc. Syftet är att få en tydlig, stabil och tillräckligt exakt föreställning av hur systemet utvecklas över tid.

Vanliga metoder delas in i explicita och implicita. Exempel på explicita metoder är forward Euler och olika Runge-Kutta-scheman, som kräver enkel beräkning per steg men kan vara begränsade av stabilitet och kräva små tidssteg för stive problem. Implicita metoder som backward Euler och Crank-Nicolson är generellt stabilare för stivhet och tillåter större tidssteg, men varje steg kräver lösen av ett ekvationssystem. Multistep-metoder som Adams-Bashforth och Adams-Moulton samt bakåtdifferentieringsmetoder (BDF) används också, ofta med högre precision eller bättre stabilitet.

Stabilitet är central i tidsstepping. För icke-stiva problem kan explicita metoder vara mycket begränsade av CFL-villkoren, medan implicita metoder bättre hanterar stivhet men kräver mer beräkningskraft per steg. Valet av metod och tidssteg beror på problemets karaktär, önskad noggrannhet och beräkningskostnad. Tidsstepping används tillsammans med rumslig discretisering i PDE-problem och ofta med adaptiv tidsstyrning för att kontrollera lokala fel.