Multistepmetoder

Multistepmetoder är numeriska metoder för att lösa initialvärdesproblem för ordinära differentialekvationer där nästa värde beräknas med hjälp av flera tidigare punkter. De tillhör klassen linjära multistep-metoder och används ofta när man vill utnyttja återkommande värden av både y och f(t,y) för att förbättra effektiviteten i beräkningar. Till skillnad från enkelstegsmetoder, som endast använder föregående punkt, bygger multistepmetoder på flera tidigare steg.

Den allmänna formen är sum_{j=0}^k α_j y_{n-j} = h sum_{j=0}^k β_j f(t_{n-j}, y_{n-j}), där y_{n-j} är tidigare approximativa lösningar och f(t,y) är högerledet i differentialekvationen y' = f(t,y). Steglängden är h = t_{n+1} - t_n. Metoderna har ordning p, där p ≤ k; större k ger ofta högre ordning men kräver bättre stabilitetsegenskaper. De kan vara explicita (f-ande) eller implicita; vanliga grupper är Adams-Bashforth (explicita), Adams-Moulton ( implicita) och predictor-corrector-kombinationer. Inom styva problem används ofta implicita multistepmetoder som Adams-Moulton eller BDF.

Startproblem: för att börja behövs de första k värdena y_0,...,y_{k-1}, vanligtvis erhållna med en separat metod som Runge-Kutta. Steglängdsanpassning används ibland för att möta lokala felkrav eller styvhet.

Verktypen används när kostnaden för f-utvärderingar är hög eller när man vill utnyttja flera historiska värden. Viktiga egenskaper är startingproceduren, nollstabilitet och konvergens, samt lämplighet för styva problem beroende på metodval.