Tessellaatioissa

Tessellaatioissa tarkoitetaan tilan kattamista tasolla toistuvalla kuvioinnilla siten, että koko pinta peittyy ilman aukkoja tai päällekkäisyyksiä. Kuvio muodostuu toistuvista kappaleista, jotka voivat olla samoja tai erivärisiä, mutta jotka sopivat toisiinsa ilman rakoja. Tutkimuksen kohteena ovat sekä geometrian perusominaisuudet että kuvioiden symmetria ja toistuvuus.

Säännölliset tessellaatioissa ovat tiloja, joissa käytetään samanlaista polygonsarjaa ja jokaisessa kärkipisteessä on sama kulkuneuvo. Euclidisen tason säännölliset tessellaatioissa ovat vain kolmi-, neliö- ja kuusikulmiosta muodostuvia tiloja. Näiden Schlӓfli-symbolit ovat {3,6}, {4,4} ja {6,3}, joista kukin kuvaa, kuinka monta kappaletta ja minkä tyyppisiä kuvioita kohdataan kussakin kärkipisteessä. Esimerkiksi {3,6} tarkoittaa kolmiomezisiä tiloja, joissa kuusi kolmiota kohtaa yhtä pistettä.

Puolittaiset tai Archimedean tessellaatioissa käytetään useampaa kuin yhtä polygonityyppiä, mutta jokaisessa kärkipisteessä on sama järjestys. Planeella tunnetaan 11 erilaista Archimedialaista tessellaatioita, jotka ovat toistuvia ja symmetrisesti järjestettyjä kuvioita, kuten neliö- ja kolmiopintaiset yhdistelmät.

Aperiodiset tessellaatioissa eivät toistu täysin säännöllisesti, mikä tarkoittaa, ettei kuvioihin voi löytää kertaantuva translatiivinen vaihetta. Tunnetuin esimerkki on Penrose-tessellaatio, joka täyttää tilan ei-toistuvasti ja samalla säilyttää pitkän aikavälin.*

Tällaiset tilat ovat kiinnostavia sekä matemaattisessa teoria että sovelluksissa, joissa tarvitaan ei-toistuvaa rakennetta tai monimutkaista symmetriaa.

Historia ja sovellukset viittaavat tessellaatioihin jo antiikin ajoilta, mutta laajempaa kehitystä edustavat Keplerin, Coxeterin sekä 1900-luvun lopun tutkimukset. Käytännön sovelluksia on arkkitehtuurissa, tietojenkäsittelyssä, tietokonografiaan sekä materiaalitieteessä, mukaan lukien kiteiden järjestäytyminen ja quasicrystal-rakenteet. Tessellaatioiden tutkimus yhdistää geometrian, kuvion suunnittelun ja symmetrian käsitteet tarjoten sekä teoreettisen että visuaalisesti vaikuttavan näkökulman.