Terminalobjekts

Ein Terminalobjekt in einer Kategorie C ist ein Objekt T mit der Eigenschaft, dass zu jedem Objekt X in C genau ein Morphismus X → T existiert. Formal bedeutet dies, dass die Hom-Sets Hom_C(X, T) für alle X in C genau ein Element enthalten. Ein solches Objekt wird daher auch als Finalobjekt bezeichnet.

Wesentliche Eigenschaften: Terminalobjekte sind eindeutig bis zu isomorphismus. Wenn T und T' Terminalobjekte in C sind, existieren eindeutige Morphismen T → T' und T' → T, deren Verkettung beides Identitäten ergibt. Daraus folgt, dass jedes Terminalobjekt, falls vorhanden, mit jedem anderen Terminalobjekt isomorph ist. Falls C bereits konkrete Objekte besitzt, lässt sich ein Terminalobjekt oft durch direkte Nachweise identifizieren: Es gibt genau einen Pfeil von jedem Objekt zum Terminal.

Beispiele: In der Kategorie Set ist ein Terminalobjekt eine Einsheetsinelemente-Menge (ein Zeile mit einem Element). In Grp ist der triviale Gruppeneintrag (die Gruppe mit nur einem Element) Terminal. In Top ist ein ein-Punkt-Rraum Terminal, da es genau eine stetige Abbildung von jedem Raum in einen Punktraum gibt. In der Kategorie Cat existiert das eineObjekt-eine-Morphismus-Kategorie (die Kategorie mit einem Objekt und nur der Identity-Morphism) als Terminalobjekt. In einer posetkategorischen Sicht entspricht ein Terminalobjekt dem größten Element der zugrundeliegenden Ordnung.

Zusammenhang mit anderen Konzepten: Das Terminalobjekt ist das Limes-Objekt eines leeren Diagramms. Dem dualen Konzept entspricht das Initialobjekt, das den Colimit eines leeren Diagramms bildet. Terminalobjekte helfen, universelle Eigenschaften und Funktorklassen zu charakterisieren, ohne sich auf konkrete Darstellungen festlegen zu müssen.