Tensorberegninger

Tensorberegninger omhandler operationer med tensorer, som generaliserer skalarer, vektorer og matricer. Tensorer beskrives ofte ved deres komponenter i et valgt koordinatsystem og følger specifikke transformationsregler, når basis ændres. Dette gør tensorer særligt nyttige til at beskrive fysiske mængder og geometriske egenskaber uafhængigt af koordinatsystemet.

De grundlæggende operationer inkluderer addition og skalær multiplikation, tensorprodukt, kontraktion og forskellige former for indre og ydre produkter. Tensorproduktet danner højere ordens tensorer ved at kombinere to eller flere tensors komponenter, mens kontraktion indebærer at summere over et eller flere fælles indeks og dermed reducere tensorens ordnen. Indre og ydre produkter kræver ofte en metrisk tensor eller en anden struktur til at definere passende indekskontraktioner og direction.

Repræsentation og koordinatsystemer: I en bestemt basis har en tensor komponenter, der følger regler for koordinat Transformationer. Indeksene angiver varianter (covariant og contravariant) og ændrer sig på en veldefineret måde ved basisændringer. Den metrisk tensor bruges til at hejse eller sænke indeks og til at definere afstand, vinkel og ortogonalitet i rum og rum-tidsstrukturer.

Anvendelser spænder fra fysik (klassisk mekanik, relativitetsteori) og differentialgeometri til datalogi og maskinlæring, hvor tensorer håndteres som flerdimensionale arrays i biblioteker som NumPy, PyTorch og TensorFlow. I numeriske metoder udgør tensorberegninger et grundlæggende værktøj til simuleringer og optimering.

Eksempelvis er dotproduktet af to vektorer en kontraktion, der giver en skalar, mens tensorproduktet af to vektorer giver en 2. ordens tensor med komponenter. Kontraktion langs et indeks kan reducere ordnen og producere nyere objekter såsom vektorer eller scalars.