Tensorproduktet

Tensorproduktet av to vektorrom V og W over et felt F er et nytt vektorrom, betegnet V ⊗ W, som fanger all bilinearitet mellom V og W. Det er definert eller karakterisert gjennom en universell egenskap: det finnes en bilineær kart i: V × W → V ⊗ W slik at for hvert annet vektorrom X og hvert bilineært kart B: V × W → X finnes det et unikt lineært kart φ: V ⊗ W → X med φ(i(v,w)) = B(v,w). Denne universelle egenskapen gjør tensorproduktet til en bifunksjonell konstruksjon.

Konseptuelt bygges V ⊗ W ved å generere den av enkelttensors v ⊗ w (v ∈ V, w ∈ W) under relasjoner som sikrer bilineæritet: (αv) ⊗ w = v ⊗ (αw) = α(v ⊗ w), samt (v1 + v2) ⊗ w = v1 ⊗ w + v2 ⊗ w og v ⊗ (w1 + w2) = v ⊗ w1 + v ⊗ w2. Hvis V og W har baser {vi} og {wj}, er {vi ⊗ wj} en basis for V ⊗ W, og dimensjonen er dimensjon(V) × dimensjon(W) i tilfelle avandomfelter og endelig dimensjon.

For moduler over en kommutativ ring R er det tilsvarende M ⊗_R N, som gir en R-modul. For lineære kart f: V → V' og g: W → W' er f ⊗ g definert ved (f ⊗ g)(v ⊗ w) = f(v) ⊗ g(w); dette er linear og godt definert på hele V ⊗ W.

Anvendelser inkluderer å uttrykke bilineære former som lineære kart fra V ⊗ W, samt konstruere nye produkter og operasjoner mellom vektorrom. Tensorproduktet spiller en sentral rolle i algebra, geometri og teoretisk fysikk.