Teilkörpers

Teilkörper (singular Teilkörper) bezeichnet in der abstrakten Algebra einen Unterkörper eines Feldes. Sei L ein Feld. Ein Unterkörper K von L heißt Teilkörper von L, wenn K ⊆ L gilt. Die Erweiterung L/K nennt man Körpererweiterung. K besitzt mit den Operationen von L eine eigene Feldstruktur, und die Operationen in K sind die Einschränkungen derjenigen in L.

Beispiele: Der Körper Q ist der Primkörper jeder Feldcharakteristik 0 und liegt z. B. in R und in C. In endlichen Feldern gilt F_p ⊆ F_{p^n} für jedes n; dort ist F_p der Primkörper. In einer Erweiterung L/K ergeben sich weitere Teilkörper wie K(a) – das kleinste Teilfeld von L, das K enthält und das Element a einschließt.

Eigenschaften: Die Menge aller Teilkörper von L, die K enthalten, ist unter Inklusion teils geordnet. Schnitt zweier Teilkörper ist wieder ein Teilkörper; durch das Vereinen von Elementen erhält man das kleinste Teilfeld K(S) von L, das K enthält und S enthält. In der Galois-Theorie besteht bei endlich galoisschen Erweiterungen eine Inklusionsumkehr zwischen Unterkörpern von L und Untergruppen der Galoisgruppe Gal(L/K).

Anwendungen: Teilkörper spielen eine zentrale Rolle in der Zahlentheorie, der Algebraischen Geometrie und der Funktionentheorie.

Siehe auch: Feld, Unterkörper, Feldextension, Galoistheorie.