Tasopistejoukossa

Tasopistejoukossa on käsite matematiikassa, jonka mukaan pistejoukko koostuu kaikista pisteistä, joilla jokin funktio f saa saman arvon c. Tarkemmin: olkoon f X:stä johdettu funktio f: X → ℝ (tai ℂ) ja valitse kiinteä arvo c ∈ ℝ. Tällöin tasopistejoukko L_c määritellään L_c = { x ∈ X | f(x) = c }. Jos suomennetussa kontekstissa käytetään ilmaisua tasopistejoukossa, sillä viitataan juuri näihin pisteisiin, joissa f saa arvon c.

Tasopistejoukkoja käytetään laajasti monilla matematiikanalueilla. Esimerkiksi jatkuvalla funktiolla f tasopistejoukko L_c on usein suljettu joukko, koska L_c on funktion f^{-1}({c}) eli sekäään 1-sijaista kuvan esitystä. Monimuuttujaisessa tapauksessa tasopistejoukko muodostaa usein jonkinlaisen pinnan tai suoran ympäristön, jonka geometria määräytyy funktion gradientin normaalisuuntaan nähden. Gradientti ∇f on tasopistejoukosta kohtaan f = c kohtien tangenttien normaali, mikä kuvaa tasopistejoukon paikallista rakennetta.

Esimerkki: Funktio f(x, y) = x^2 + y^2 määrittää tasopistejoukon L_c, joka on ympyrä x^2 + y^2 = c. Kun c = 4, tasopistejoukko on ympyrä, jonka säde on 2. Mikäli c < 0, L_c on tyhjä joukko, sillä neliöjuuria summasta eivät ole negatiivisia.

Tasopistejoukkoja käytetään kontuurien piirtämisessä, optimoinnissa (taso- tai tasorajoitteiden ilmaiseminen) sekä differentiaaligeometriassa ja osittaisdifferentiaaliyhtälöissä. Vastaavia rakennelmia ovat myös alitasot (sublevel sets) f ≤ c, jotka muodostavat toisenlaisen arvojakauman käsittelyyn.