Symplektizität

Symplektizität bezeichnet in der Differentialgeometrie zwei verwandte Konzepte. Zum einen die Eigenschaft einer 2-Form ω auf einer glatten Mannigfaltigkeit M, symplektisch zu sein: ω ist geschlossen (dω = 0) und nichtdegeneriert, so dass (M,ω) ein symplektischer Mannigfaltigkeit wird. Dann hat M die gerade Dimension 2n, und ω^n dient als orientiertes Volumenform. Nach dem Darboux-Theorem lässt sich ω lokal in kanonischen Koordinaten qi, pi so schreiben, dass ω = Σ_i dqi ∧ dpi ist, wodurch lokale Modelle des Phasenraums entstehen.

Zum anderen bezeichnet Symplektizität auch die Eigenschaft von Abbildungen, diese Struktur zu bewahren. Eine Diffeomorphie φ: (M,ω) → (N,Ω) heißt symplektisch, oder Symplektomie, wenn φ*Ω = ω gilt. Ist M=N und ω=Ω, spricht man von einer Symplektomorphie. Solche Abbildungen bewahren ω und damit auch das Liouville-Volumen ω^n. Hamiltonsche Flüsse liefern typische Beispiele: Für eine Hamilton-Funktion H ist der zugehörige Vektor X_H durch i_{X_H} ω = dH definiert; der Fluss φ_t von X_H ist eine Familie von Symplectomorphismen, wodurch Phasenraumvolumen erhalten bleibt.

Beispiele und Bedeutung: Der Standard-Form ω0 = Σ_i dx_i ∧ dy_i auf R^{2n} ist symplektisch. Die Gruppe der symplektischen linearen Abbildungen ist Sp(2n,R). Symplektizität ist ein Kernkonzept der symplektischen Geometrie und der Hamiltonschen Mechanik, gestützt durch Ergebnisse wie das Darboux-Theorem.