Summierbarkeit

Summierbarkeit bezeichnet in der Analysis die Eigenschaft einer Reihe ∑ a_n, dass die Folge der Partialsummen S_N = ∑_{n=1}^N a_n gegen eine endliche Zahl konvergiert. Wird zusätzlich ∑ |a_n| konvergieren, spricht man von absoluter Summierbarkeit; eine absolut summierbare Reihe ist somit auch konvergent. Reine (bedingte) Summierbarkeit liegt vor, wenn ∑ a_n konvergiert, aber ∑ |a_n| divergiert.

In der Praxis unterscheiden sich Summierbarkeit und Summiermethoden. Es gibt Methoden, die bestimmten divergenzen Reihen dennoch einen endlichen Wert zuordnen, etwa Cesàro-Summation, Abel-Summation oder weitere summationstechnische Verfahren. Beispiel: Die Reihe 1 - 1 + 1 - 1 + … ist Cesàro-summierbar und hat den Wert 1/2; die klassische Grandi-Reihe.

Beispiele: Die harmonische Reihe ∑ 1/n divergiert und ist damit nicht Summierbarkeit im klassischen Sinn; die Reihe ∑ (-1)^{n+1}/n konvergiert (bedingte Summierbarkeit); die Reihe ∑ 1/n^2 konvergiert absolut.

Anwendungen: Summierbarkeit spielt eine zentrale Rolle in der Analysis, etwa bei Reihenentwicklungen, der Fourier-Analyse, der Lösung von Differentialgleichungen und beim Austausch von Summation und Integration. In der abstrakten Form erscheinen Summierbarkeitsräume wie l^1 in der linearen Funktionsanalyse.

Historischer Kontext: Der Begriff entstand im 19. Jahrhundert; heute versteht man darunter eng verwandte Konzepte der Konvergenz und der Summiermethoden, oft verknüpft mit entsprechenden Tests (Leibniz-Kriterium, Cauchy-Kriterium) und mit L^p-Räumen.