SpinorStrukturen

Spinorstrukturen, auch Spin-Strukturen genannt, sind eine zusätzliche Struktur auf orientierten riemannsche Manigfaltigkeiten, die es ermöglicht, Spinorfelder zu definieren. Sie erscheinen insbesondere in der geometrischen Analysis und in der Physik, wo Spinoren Fermionen beschreiben.

Formal definieren sich Spinorstrukturen als eine Hauptrbundel P_spin mit der Gruppe Spin(n) zusammen mit einer zweifachen Abdeckung λ von P_spin auf das orientierte Rahmenbündel P_SO(n). Die Abbildung ist über die Gruppenhomomorphie Spin(n)→SO(n) kompatibel mit der Projektion zum Trägermannigfaltigkeitsbasisraum. Spinorbündel entstehen durch Assoziierung von P_spin mit einer Spinorrepräsentation, und Spinorfelder sind Abschnitte dieses Spinorbündels.

Existenz und Klassifikation: Eine Spin-Struktur existiert genau dann, wenn die zweite Stiefel-Whitney-Klasse w2(TM) des Tangentialbündels TM vanish. Für orientierte Manigfaltigkeiten erfüllt w2(TM)=0 die Bedingung für die Existenz einer Spin-Struktur. Die Menge der Spin-Strukturen (falls sie existieren) ist eine affine Mannigfaltigkeit über H^1(M;Z2); bei einfach zusammenhängenden M ist sie eindeutig.

Beispiele: R^n besitzt eine kanonische Spin-Struktur. S^n (n≥2) besitzt eine Spin-Struktur, eindeutig für n>2. Der Torus T^2 besitzt vier verschiedene Spin-Strukturen. Allgemein haben Flächen mit Genus g genau 2^{2g} Spin-Strukturen.

Spinoren und Operatoren: Aus einer Spin-Struktur ergibt sich das Spinorbündel S, dessen Abschnitte Spinorenfelder sind. Durch die Levi-Civita-Verbindung erhält man eine Spin-Verbindung, mit der der Dirac-Operator D definiert wird. Dieser Operator ist zentral in der Indextheorie und in Modellen der Quantenphysik. Spin-Strukturen lassen sich auf Spin^c-Strukturen verallgemeinern, die insbesondere in Gegenwart eines zusätzlichen Linienbündels auftreten.