Spenningstensoranalyse

Spenningstensoranalyse er studiet av spenningstilstander i materialer og strukturer ved hjelp av spenningstensoren, vanligvis Cauchy-stresstensoren sigma. Tractionen på en grenseflate med enhetsnormal n er gitt av t = sigma · n. Spenningstensoren beskriver hvordan krefter fordeles i ulike retninger innenfor et lite volumen og er sentral for å vurdere materialrespons og strukturmessig oppførsel under belastning.

Matematisk oppsett involverer en andreordens tensor sigma; i et gitt koordinatsystem har den komponenter sigmaij. På grunn av momentbalanse er sigma symmetrisk (sigmaij = sigmaji) for ikke-polare medier. Ved å finne egenverdiene og egenvektorene til sigma får man hovedspenningene og hovedretningene. Invariantene til sigma, som I1 = tr(sigma), I2 = 1/2[(tr sigma)^2 − tr(sigma^2)], I3 = det(sigma), er uforanderlige og brukes ofte i beskrivelse av tilstander og i Mohr’s sirkler for visuell representasjon.

Gjennom likvekts- og kinematiske forhold kobles spenningstensoren til deformasjonen og materialegenskaper. Likevekt gjelder: div(sigma) + b = 0, der b er kroppskrefter. Koblingen mellom deformasjon og spenning skjer gjennom en constitutive-lov: for isotropt elastisk materiale er sigma = lambda tr(eps) I + 2 mu eps, hvor eps er smådeformasjons-tetningen og lambda og mu er Lamé-parametere. Generelt kan materialmodeller være anisotrope, ikke-lineære og tidsavhengige (viskoelastisitet).

Anvendelser og metoder varierer fra bygg- og maskindesign til geofysiske problemer. Plan-stress og plan-strain forenkler to- dimensjonale problemer. Løsninger oppnås ofte analytisk i enkle geometrier eller numerisk med Finite Element Method (FEM). Yield-kriterier som von Mises og Tresca brukes for å vurdere plastisk deformasjon og brudd.