Spektriteoria

Spektriteori är en gren av funktionalanalys som studerar spektrumet hos linjära operatorer på Banach- eller Hilbertrum. Spektrumet σ(T) består av de komplexa tal λ för vilka T − λI inte är inverterbar. Resolventmängden ρ(T) är komplementet till σ(T) och definieras av de λ för vilka (T − λI)−1 existerar och är bundet. Spektrumet kan delas in i olika delar: punktspektrumet (eigenvärden), det kontinuerliga spektrumet och restspektrumet.

Särskilt betydelsefullt är självadjointa och enhetsoperatörer. För en självadjoint operator T ligger σ(T) vanligtvis i de reella talen, och för en enhetsoperator U ligger σ(U) i enhetscirkeln. Den grundläggande spektralteorin, spektral satsen, säger att en självadjoint operator kan representeras som en integral över sitt spektrum med avseende på ett projektionvärdemått E: T = ∫ λ dE(λ). Denna representation ger en funktionell kalkyl, så att för varje bunden Borel-funktion f kan f(T) definieras som ∫ f(λ) dE(λ). Liknande satser gäller för normaloperatorer.

Ungefärlig hantering av obundna operatorer kräver att domänen beaktas och att begreppen stängdhet och densitet används. Begreppet spektral densitet används ofta, inklusive essentiellt spektrum och Weyls kriterier.

Spektriteori har bred tillämpning inom kvantmekanik (observationer som representeras av självadjointa operatorer), partiella differentialekvationer, signalbehandling och stabilitetsanalys. Exempel inkluderar Laplace-operatören på ett slutet intervall, som har diskret spektrum, samt multipleringsoperatörer, vars spektrum sammanfaller med deras essentiella spektrum.