Spanfläche

Spanfläche bezeichnet in der linearen Algebra die lineare Hülle (den Span) einer Menge von Vektoren in einem Vektorraum über einem Feld, häufig R oder C. Die Spanfläche ist der kleinste lineare Unterraum, der alle gegebenen Vektoren enthält. Sie wird notiert als Span{v1, ..., vk} und besteht aus allen Vektoren der Form a1 v1 + ... + ak vk mit Skalaren ai aus dem Feld.

Bei zwei Vektoren v1 und v2 gilt: Falls sie linear unabhängig sind, erzeugen sie eine zweidimensionale Spannfläche, also eine Ebene durch den Ursprung im Vektorraum. Sind sie linear abhängig, reduziert sich die Spanfläche auf eine Gerade, den durch einen Vektor erzeugten Unterraum. Für mehr als zwei Vektoren bestimmt deren lineare Abhängigkeit die Dimension der Spanfläche: Sie ist gleich dem Rang der Matrix, deren Spalten die Vektoren bilden und liegt zwischen 0 und der Dimension des umgebenden Raums.

Beispiele: In R^3 gilt Span{(1,0,0), (0,1,0)} als die xy-Ebene, Span{(1,0,0)} als die x-Achse, und Span{(1,2,3), (2,4,6)} ist dieselbe Geradenspannung wie Span{(1,2,3)}, da die beiden Vektoren linear abhängig sind.

Abgrenzung: Der Begriff Spanfläche wird manchmal synonym mit Spannraum verwendet. Für Ebenen, die nicht durch den Ursprung gehen, spricht man oft von affinen Flächen oder affinen Ebenen; der lineare Span bezieht sich immer auf Unterräume, die den Ursprung enthalten. Anwendungen finden sich in der Bestimmung von Basen, dem Lösen linearer Gleichungssysteme, der Berechnung von Bild- und Rangkonstruktionen sowie in der Geometrie und Datenanalyse.