Simpson38Regel

Simpson38Regel, auch Simpson-3/8-Regel, ist eine Methode der numerischen Integration zur näherungsweisen Bestimmung eines bestimmten Integrals. Sie gehört zu den Newton-Cotes-Formeln und verwendet eine kubische Interpolation über drei aufeinanderfolgende Teilintervalle, um das Integral über diesen Abschnitt exakt zu integrieren.

Für ein Intervall [a, a+3h] gilt die lokale Näherung: ∫_a^{a+3h} f(x) dx ≈ (3h/8) [f(a) + 3 f(a+h) + 3 f(a+2h) + f(a+3h)]. Diese Form ergibt sich, wenn man ein Polynom dritten Grades durch die Funktionswerte an den vier äquidistanten Punkten x = a, a+h, a+2h, a+3h bestimmt und dessen Integrationsregel anwendet.

Für das gesamte Intervall [a,b] mit n Teilintervallen, wobei n durch 3 teilbar ist, setzt man h = (b-a)/n und x_i = a + i h. Dann gilt ∫_a^b f(x) dx ≈ (3h/8) [f(x_0) + f(x_n) + 3 ∑_{i=1, i mod 3 ≠ 0}^{n-1} f(x_i) + 2 ∑_{i=3, i mod 3 = 0}^{n-3} f(x_i)]. Die Summen beschreiben das Muster der Gewichte innerhalb jedes Dreierblocks von Unterintervallen (1, 3, 3, 1).

Eigenschaften: Die Regel ist exakt für Polynome bis Grad 3 und gehört zu den Simpson- bzw. Newton-Cotes-Verfahren. Sie verwendet drei Unterintervalle pro Anwendung und eignet sich gut für gleichmäßig aufgeteilte Integrationsbereiche. Der Fehler ist von Ordnung h^4 und hängt von der vierten Ableitung von f ab.

Anwendungen: Häufig in Technik und Wissenschaft, wenn Integrale numerisch aus Funktionswerten bestimmt werden müssen. Sie dient als Alternative zur Simpson-1/3-Regel und anderen Newton-Cotes-Formeln.