ShootingMethoden

Die Schießmethode (Schiessmethode) ist eine numerische Methode zur Lösung von Randwertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs). Sie wandelt ein Randwertproblem in ein Anfangswertproblem (IVP) um, bei dem eine unbekannte Anfangsbedingung so gewählt wird, dass die gegebene Randbedingung am Rand des Intervalls erfüllt wird. Typische Anwendung sind zwei Punkt- oder Mehrpunkt-Randwertprobleme der Form y'' = f(x, y, y'), y(a) = α, y(b) = β.

Grundprinzip: Es wird eine Anfangsschätzung für die unbekannte Anfangsbedingung gemacht, etwa y'(a) = s. Dann wird das IVP auf dem Intervall [a, b] gelöst. Die so erhaltene Endbedingung y(b; s) wird mit dem gewünschten Wert β verglichen. Durch eine Aktualisierung von s, z. B. mit dem Newton-Verfahren oder dem Sekantenverfahren, wird versucht, F(s) = y(b; s) − β zu nullen. Wiederholt man dieses Vorgehen, konvergiert s gegen den Wert, der das Randwertproblem erfüllt. Für die Berechnung von F'(s) werden oft zusätzlich die Variationsgleichungen integriert oder geeignete Approximationen verwendet.

Varianten und Stabilität: Die einfache Form der Schießmethode kann bei sensiblen oder stiffen Problemen instabil oder nicht konvergent sein, insbesondere bei schlechten Startschätzungen. Eine verbreitete Erweiterung ist das Mehrfach-Schießen (Multiple Shooting), bei dem das Intervall in Teilintervalle unterteilt wird und die Lösungswerte an den Schnittpunkten Stetigkeit erzwingen. Dadurch lässt sich die Stabilität verbessern und größere Probleme besser handhaben.

Beziehungen: Die Schießmethode steht im Kontrast zu Kollokations- oder Finite-Differenzen-Methoden, die das Randwertproblem direkt diskret lösen. Sie ist einfach zu implementieren und eignet sich gut als erster Ansatz bei gut regulären Problemen. Anwendungen finden sich in Physik, Technik, Regelungstheorie und anderen Bereichen, in denen Randwertprobleme von ODEs auftreten.