Selbstähnliche

Selbstähnliche bezeichnen in der Geometrie Objekte oder Muster, deren Teile dem Ganzen ähneln, wenn sie vergrößert oder verkleinert werden. Der Begriff ist ein Kernbestandteil der Selbstähnlichkeit, einer zentralen Eigenschaft der Fraktalgeometrie. Selbstähnliche Strukturen können exakt oder annähernd selbstähnlich sein.

In der Mathematik wird exakte Selbstähnlichkeit oft durch Abbildungen beschrieben, die das Objekt in verkleinerter Form erneut enthalten. Eine Figur S ist exakt selbstähnlich, wenn sie sich durch eine endliche Menge von Abbildungen f_i auf sich selbst rekonstruieren lässt und S = ⋃ f_i(S) gilt, wobei jede f_i eine Kontraktion ist. Solche Konzepte werden im Rahmen von Iterierten Funktionssystemen (IFS) genutzt, um komplexe Muster aus einfachen Regeln zu erzeugen.

Typische Beispiele für exakt selbstähnliche Objekte sind der Cantor-Satz, das Sierpinski-Dreieck, die Koch-Kurve und der Vicsek-Fraktal. Diese Strukturen zeigen auf jeder Skala dieselbe Form, auch wenn sie endlos feiner werden. Natürlichere Phänomene weisen oft nur statistische Selbstähnlichkeit auf: Küstenlinien, Wolkenformationen oder Flussläufe zeigen ähnliche Muster, ohne exakt dieselbe Form auf allen Maßstäben zu besitzen.

Anwendungen finden sich in der Computergrafik, der Naturmodellierung, der Physik, Biologie und Signalverarbeitung. Selbstähnliche Strukturen ermöglichen effiziente Repräsentationen komplexer Formen und liefern Kennzahlen wie die fractale Dimension. In der Stochastik treten selbstähnliche Prozesse auf, etwa fraktionales Brown’sches Bewegung mit einem Hurst-Exponent, der das Maß der Langzeitabhängigkeiten beschreibt.