Schrödingergleichung

Die Schrödinger-Gleichung ist die zentrale Gleichung der Quantenmechanik zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines Quantenzustands. Sie beschreibt die Wellenfunktion ψ eines Systems, deren Quadrat |ψ|^2 die Aufenthaltswahrscheinlichkeit liefert (Born-Regel). In der zeitabhängigen Form lautet sie iħ ∂ψ(r,t)/∂t = Ĥ ψ(r,t), wobei Ĥ der Hamiltonoperator ist, der die kinetische Energie −(ħ^2/2m)∇^2 und die potentielle Energie V(r,t) umfasst. Für ein Teilchen in einer Potenziallandschaft wird Ĥ = −(ħ^2/2m)∇^2 + V. Die Lösung der Gleichung liefert die zeitliche Entwicklung von ψ und damit Messgrößen wie Wahrscheinlichkeiten von Ort, Impuls oder Energie.

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung Ĥ ψ = E ψ behandelt stationäre Zustände und liefert Energieniveaus und zugehörige Eigenfunktionen. Sie ist besonders nützlich für Probleme mit zeitunabhängiger Potenzialfunktion.

Historischer Kontext: Die Gleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger im Rahmen der Wellenmechanik eingeführt und stellte eine Alternative zur Matrizenmechanik von Heisenberg dar. Sie ist Teil der Nichtrelativistischen Quantenmechanik und stimmt mit experimentellen Ergebnissen überein, sofern Relativität und Spin entsprechend berücksichtigt werden.

Anwendungen und Grenzen: Die Schrödinger-Gleichung findet Anwendung in Atom-, Molekül-, Festkörper- und Quantenoptik sowie in vielen numerischen Berechnungen. Bei hohen Geschwindigkeiten oder starken Feldern ist eine relativistische Behandlung (etwa die Dirac-Gleichung) erforderlich. Die Gleichung ist linear und deterministisch in der Zustandsbeschreibung, aber Messprozesse führen zu probabilistischen Ergebnissen.