Scheidbarkeit

Scheidbarkeit, im Deutschen oft als separability bezeichnet, ist ein grundlegendes Konzept in der Algebra und beschreibt Eigenschaften von Polynomen und von Körpererweiterungen, die das Auftreten mehrfacher Nullstellen vermeiden. Ein Polynom f in F[x] über einem Körper F heißt separabel, wenn es in einem Splittingfeld von F alle Nullstellen einfach hat; äquivalent gilt, dass f und seine formale Ableitung f' keine gemeinsamen Nullstellen besitzen, also der größte gemeinsame Teiler von f und f' gleich 1 ist. Diese Bedingung ist besonders aussagekräftig, wenn die Charakteristik des Grundkörpers betrachtet wird. Über perfekten Körpern ist jedes irreduzible Polynom separabel; im Charakteristik-0-Fall gilt dies allgemein, und auch über endlichen Feldern (die perfekt sind) gilt es.

Eine algebraische Erweiterung E/F heißt separabel, wenn jedes Element von E über F ein Wurzelausdruck eines separablen Polynoms ist; äquivalent bedeutet dies, dass das Minimalpolynom jedes Elements von E über F keine Mehrfachwurzel besitzt. Für endliche Erweiterungen gilt: E/F ist genau dann separabel, wenn es [E:F] verschiedene F-Abbildungen von E in einem algebraischen Abschluss gibt. In Charakteristik p kann eine Erweiterung inseparabel sein, etwa F_p(t^{1/p}) über F_p(t). Das Polynom X^p − t hat in diesem Fall nur eine Wurzel im Abschluss und besitzt eine Griffith-ähnliche Mehrfachwurzel, wodurch die Erweiterung rein inseparabel ist.

Über perfekte Körper, wozu endliche Körper oder Körper der Charakteristik 0 gehören, sind alle algebraischen Erweiterungen separabel. Die Separabilität spielt eine zentrale Rolle in der Galoislehre, der Theorie der étalen Morphismen in der algebraischen Geometrie sowie in vielen Bereichen der Zahl- und Funktionenkörpertheorie.